Matemática discreta Ejemplos

$3 x - 4 y = 16$ , $6 x + 8 y = - 2$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y = 16 - 3 x$

Paso 1.3

Divide cada término en $- 4 y = 16 - 3 x$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $- 4 y = 16 - 3 x$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{16}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{16}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{16}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Divide $16$ por $- 4$ .

$y = - 4 + \frac{- 3 x}{- 4}$

Paso 1.3.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - 4 + \frac{3 x}{4}$

Paso 1.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 1.4.1

Reordena $- 4$ y $\frac{3 x}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - 4$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$y = \frac{3}{4} x - 4$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $\frac{3}{4}$ .

$m_{1} = \frac{3}{4}$

Paso 3

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y = - 2 - 6 x$

Paso 3.3

Divide cada término en $8 y = - 2 - 6 x$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $8 y = - 2 - 6 x$ por $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 2}{8} + \frac{- 6 x}{8}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 2}{8} + \frac{- 6 x}{8}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2}{8} + \frac{- 6 x}{8}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $8$ .

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Paso 3.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y = \frac{2 (- 1)}{8} + \frac{- 6 x}{8}$

Paso 3.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 x}{8}$

Paso 3.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 x}{8}$

Paso 3.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 1}{4} + \frac{- 6 x}{8}$

Paso 3.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{4} + \frac{- 6 x}{8}$

Paso 3.3.3.1.3

Cancela el factor común de $- 6$ y $8$ .

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Paso 3.3.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$y = - \frac{1}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{8}$

Paso 3.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y = - \frac{1}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (4)}$

Paso 3.3.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{1}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 4}$

Paso 3.3.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{1}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Paso 3.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{4} - \frac{3 x}{4}$

Paso 3.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.4.1

Reordena $- \frac{1}{4}$ y $- \frac{3 x}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$y = - (\frac{3}{4} x) - \frac{1}{4}$

Paso 3.4.3

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4}$

Paso 4

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{3}{4}$ .

$m_{2} = - \frac{3}{4}$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$3 x - 4 y = 16, 6 x + 8 y = - 2$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 6.1

Resuelve $x$ en $3 x - 4 y = 16$ .

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Paso 6.1.1

Suma $4 y$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 16 + 4 y$

$6 x + 8 y = - 2$

Paso 6.1.2

Divide cada término en $3 x = 16 + 4 y$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.1.2.1

Divide cada término en $3 x = 16 + 4 y$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

Paso 6.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

Paso 6.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $6 x + 8 y = - 2$ por $\frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$ .

$6 (\frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $6 (\frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}) + 8 y$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (\frac{16}{3}) + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) (\frac{16}{3}) + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot (2 (\frac{16}{3})) + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 16 + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$2 \cdot 16 + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.3

Multiplica $2$ por $16$ .

$32 + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.1.1.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$32 + 3 (2) (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.4.2

Cancela el factor común.

$32 + 3 \cdot (2 (\frac{4 y}{3})) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.4.3

Reescribe la expresión.

$32 + 2 (4 y) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 2 (4 y) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$32 + 8 y + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 8 y + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.2

Suma $8 y$ y $8 y$ .

$32 + 16 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 16 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 16 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 16 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3

Resuelve $y$ en $32 + 16 y = - 2$ .

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

Resta $32$ de ambos lados de la ecuación.

$16 y = - 2 - 32$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.1.2

Resta $32$ de $- 2$ .

$16 y = - 34$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$16 y = - 34$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.2

Divide cada término en $16 y = - 34$ por $16$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Divide cada término en $16 y = - 34$ por $16$ .

$\frac{16 y}{16} = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 y}{16} = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Cancela el factor común de $- 34$ y $16$ .

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Paso 6.3.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 34$ .

$y = \frac{2 (- 17)}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$y = \frac{2 \cdot - 17}{2 \cdot 8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \cdot - 17}{2 \cdot 8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Paso 6.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{17}{8}$ en cada ecuación.

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Paso 6.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$ por $- \frac{17}{8}$ .

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 (- \frac{17}{8})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $\frac{16}{3} + \frac{4 (- \frac{17}{8})}{3}$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{16 + 4 (- \frac{17}{8})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.4.2.1.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{17}{8}$ al numerador.

$x = \frac{16 + 4 (\frac{- 17}{8})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.2.1.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{16 + 4 (\frac{- 17}{4 (2)})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.2.1.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{16 + 4 (\frac{- 17}{4 \cdot 2})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.2.1.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{16 + \frac{- 17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16 + \frac{- 17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{16 - \frac{17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16 - \frac{17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.3

Para escribir $16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{16 \cdot \frac{2}{2} - \frac{17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.4

Combina $16$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{\frac{16 \cdot 2}{2} - \frac{17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\frac{16 \cdot 2 - 17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.1.6.1

Multiplica $16$ por $2$ .

$x = \frac{\frac{32 - 17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.6.2

Resta $17$ de $32$ .

$x = \frac{\frac{15}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{\frac{15}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.2.1.8.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$x = \frac{3 (5)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 5}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.4.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

Paso 6.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{5}{2}, - \frac{17}{8})$

Paso 7

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = \frac{3}{4}$

$m_{2} = - \frac{3}{4}$

$(\frac{5}{2}, - \frac{17}{8})$

Paso 8